Le livre I des éléments d'Euclide commence par 35 définitions. Avec Jean Luc Chabert, relevons les 18 premières (les autres définitions - sauf la 35^e sur les parallèles, déjà citée - donnant la liste des différents triangles et quadrilatères) :

1. Le point est ce dont la partie est nulle.
2. Une ligne est une longueur sans largeur.
3. Les extrémités d'une ligne sont des points.
4. La ligne droite est celle qui est également placée entre ses points.
5. Une surface est ce qui a seulement longueur et largeur.
6. Les extrémités d'une surface sont des lignes.
7. La surface plane est celle qui est également placée entre ses droites.
8. Un angle plan est l'inclinaison mutuelle de deux lignes qui se touchent dans un plan, et qui ne sont point placées dans la même direction.
9. Lorsque les lignes, qui comprennent ledit angle, sont des droites, l'angle se nomme rectiligne.
10. Lorsqu'une droite tombant sur une droite fait deux angles de suite égaux entre eux, chacun des angles égaux est droit ; et la droite placée au-dessus est dite perpendiculaire à celle sur laquelle elle est placée.
11. L'angle obtus est celui qui est plus grand qu'un droit.
12. L'angle aigu est celui qui est plus petit qu'un droit.
13. On appelle limite ce qui est l'extrémité de quelque chose.
14. Une figure est ce qui est compris par une seule ou par plusieurs limites.
15. Un cercle est une figure plane, comprise par une seule ligne qu'on nomme circonférence; toutes les droites, menées à la circonférence d'un des points placée dans cette figure, étant égales entre elles.
16. Ce point se nomme le centre du cercle.
17. Le diamètre du cercle est une droite menée par le centre, et terminée de part et d'autre par la circonférence du cercle : le diamètre partage le cercle en deux parties égales.
18. Un demi-cercle est la figure comprise par le diamètre, et la portion de la circonférence, soutendue par le diamètre.

Les premières définitions sont maintenant perçues comme des descriptions, qui relèvent d'une représentation de l'espace physique, descriptions pouvant même renfermer implicitement des propriétés fondamentales. Ainsi, par exemple, certains auteurs voient déjà dans la définition 4 une forme implicite de l'axiome d'Archimède, considéré actuellement comme un axiome de continuité.

"Les définitions d'Euclide ne sont pas de vraies définitions, mais plutôt des descriptions d'intuition : elles utilisent des concepts considérés comme premiers alors qu'ils demandent eux-mêmes à être définis."

François Russo
Article "Géométrie" de l'Universalis

D'autres définitions, comme l'angle droit (10) ou le cercle (15) sont par contre de vraies caractérisations. Les définitions des angles aigus et obtus, supposent d'une part l'existence des angles droits (existence montrée dans le texte d'Euclide) et que ces angles sont égaux, ce qui est le postulat 4. Sur ce simple exemple, on voit posée la question de l'existence implicite des objets définis. C'est en particulier vrai pour les parallèles de la définition 35.

On remarquera aussi que la définition 17 du diamètre contient une proposition non montrée, ce qui renforce l'idée que ces définitions, même opérationnelles comme celle du cercle, sont essentiellement des descriptions d'objets géométriques.

Pour des commentaires plus approfondis, voir par exemple [Chabert] ou [Encyclopédie des sciences mathématiques Tome III Vol 1] qui traite du point, de la droite, et des différentes définitions apportées par les mathématiciens pour ces notions ainsi que des constructions possibles à partir de ces définitions, en particulier avec le mouvement.

 

D'autres commentaires seront aussi disponibles sur les pages relatives aux travaux de Hilbert (non encore rédigées).

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