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M est un point du cercle frontal. On veut tracer sa projection sur (xOy) dans la perspective ainsi définie.Plusieurs arguments sont possibles
: dans l'espace avec le quart de tour d'axe (Ox) qui envoie
z sur y, dans le plan avec l'affinité de base (Ox)
qui envoie z sur y.
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En construisant le lieu de x'
quand M décrit le cercle, on a l'image du cercle de
centre O passant par x - du plan (xOy) - dans cette
perspective. On remarque que, sauf si y est en k (et on a
alors une vue de face) la conique n'est pas contenue dans le
cercle. Cela signifie en particulier que l'image d'une
sphère en perspective cavalière n'est pas un
cercle mais bien une ellipse.
La figure RotPC.fig.
Pour réaliser la rotation
d'un trièdre, il suffit de reprendre la construction
avec un point N tel que (O, M, N) soit orthonormé
direct du plan (xOz). On obtient un point y'. Le
repère x'Oy' quand M se déplace sur le cercle,
est la repréentation en perspective cavalière
du repère xOy autour de l'axe (Oz).
On notera que les rayons [Ox'] et [Oy'] sont
conjugués puisqu'image des rayons orthogonaux
[OM] et [ON] du cercle par une application
affine, l'affinité de base (Ox) qui transforme z en
y.
La figure Triedre.fig.
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Il s'agit de faire tourner un carré en perspective cavalière, sur la base de la rotation du trièdre x'0y', à une homothétie près. Par les sommets A, B, C, D on trace des segments verticaux, d'extrémité A', B', C' et D'. Puis on partage les segments primés en 16 parties égales, et on joint les points opposés correspondants.
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Il s'agit ici d'utiliser la rotation d'un repère pour simuler la fabrication filaire d'un hyperboloïde par la rotation d'un cercle par rapport à un autre, relié par des fils. Dans les réalisations matérielles, on utilise en général deux disques de carton.Sur cette figure le disque du haut est fixe, celui du bas tourne avec le point Rot. Comme les fils sont rigides, le disque du bas remonte (point H). Contrairement à la réalité, où les fils s'emmèlent au bout d'un demi-tour, ici ils se décroisent. Pour la manipulation, il est intéressant de faire une animation du point Rot.Remarque : la figure proposée ici a été faite avec Cabri I, et simplement traduite en version II. Il est clair qu'elle n'est pas du tout optimisée pour Cabri II, et il serait intéressant de la refaire entièrement, en utilisant les outils de la nouvelle version. |
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On peut aussi s'intéresser aux principes de la construction.
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Voici une figure traitant de la section d'un cube par le plan passant par trois points des faces visibles, avec rotation le la section. La construction d'une telle section sera abordée dans une page sur les sections du cube.
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