Si l'intersection d'une droite et d'une parabole est une fonctionnalité de Cabri, il est géométriquement intéressant de voir sa construction à la règle et au compas.

Le cas général de la construction de l'intersection d'une droite avec une conique a été abordé dans la partie "monofocale" en particulier dans la construction utilisant le théorème de Poncelet puisque les coniques étaient définie avec un point. La démarche va être ici différente.

Cas général

Dans le dessin ci-dessous la parabole n'est tracée que pour illustrer que les points trouvés ... sont bien dessus !

Soit d' un droite. Si cette droite coupe la parabole, elle le fait en deux points O1 et O2 qui sont centres de cercles passant par F et tangents à d. Comme ces cercles sont centrés sur d', ils passent aussi par F' le symétrique du foyer par rapport à cette droite. On est ainsi amené à résoudre un exercice classiquement traité par la puissance d'un point : la construction des cercles passant par deux points donnés tangents à une droite donnée. Cet exercice a déjà été traité dans abraCAdaBRI à cette page. On peut ainsi choisir de Charger la macro TgtC2P1D.mac pour effectuer la figure ci-contre (objets initiaux F, F' et d). Lancer la figure PBDrt1.fig ci-contre.

Discussion - cas particuliers

Quand les solutions trouvées conviennent-elles ?

Dans la solution de l'exercice précédent sur les puissances, on a vu qu'il y a en général deux cercles solutions qui donnent ici - mais il faut voir à quelles conditions - deux intersections avec la parabole.

En fait, à chaque fois que les deux cercles existent, leurs centres sont à même distance de F que de la directrice, ce sont donc bien des points de la parabole. Or les deux cercles existent si et seulement si F et F' sont du même côté de la directrice.

Donc il y a des solutions si et seulement si F et F' sont dans le même demi-plan défini par la directrice de la parabole.

Cas particulier où la droite d' est parallèle à l'axe focal.

Toujours dans la même page, on a vu aussi que, replacé dans le contexte des notations actuelles, si la droite (FF') est parallèle à la directrice, il n'y a qu'une seule solution. C'est le cas particulier où la droite d' est parallèle à l'axe de la parabole. La macro proposée ci-dessus traite aussi ce cas dans un "complément logique". Il suffit de le voir sur la figure Cabri ci-dessus.

Cas particulier où le foyer appartient à la droite d'

Un autre cas particulier est celui où le foyer est sur la droite. Dans ce cas les points F et F' sont confondus, l'argument précédent ne joue plus - et la macro non plus d'ailleurs. Mais l'argument est facilement adaptable ...

... en effet (FF') était l'axe radical des cercles cherchés. Ici si F et F' sont confondus, cela signifie que les cercles solutions cherchés seront tangents en F, et donc que leur axe radical n'est autre que la droite orthogonale à d' en F. C'est la même droite que dans le cas général, mais ici nous avons besoin de d' pour la tracer. Cette droite coupe la directrice en I. L'argument général s'adapte alors trés simplement : cette fois-ci (IF) est tangente aux deux cercles cherchés, donc IF est la longeur de la tangente issue de I. Si les cercles sont tangents à d en M et N, on a trivialement IM = IN = IF. Ce qui achève la construction.   La figure PBDrt2.fig ci-contre.

Diamètre d'une parabole

D'après ce qui précède - et l'argument de la solution de construction des cercles passant par F et F' et tangents à d - la droite (FF') est l'axe radical des cercles. Elle coupe la directrice d en un point I qui, ayant même puissance par rapport aux deux cercles, est à même distance des points de contact M et N.

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