On suppose connus quelques résultats sur l'orthocentre H d'un triangle ABC. Par exemple :

Les symétriques de H par rapport aux droites (AB), (AC) et (BC) appartiennent au cercle circonscrit du triangle (soit O son centre).

Le milieu de [OH] est le centre du cercle d'Euler, cercle passant par les pieds H_A, H_B, H_C des hauteurs issues respectivement de A, B, et C.

Le cercle d'Euler a pour rayon la moitié du cercle circonscrit, ainsi le cercle d'Euler est-il l'homothétique du cercle ciconscrit dans l'homothétie de centre H et de rapport 1/2.

O et H foyers d'une conique tritangente au triangle.

Cas de l'hyperbole

Remarque : Il est clair que si le triangle est rectangle, la conique n'est pas définie, s'il est équilatéral, la conique construite n'est rien d'autre que le cercle d'Euler, c'est-à-dire le cercle inscrit dans ce cas. D'une manière générale nous excluerons dans la suite ces cas particuliers.

Cas où le triangle est équilatéral

La figure EulerTEq.fig de ce cas particulier.

Droites de Simpson et de Steiner associées aux points de contact

Rappels : Soient ABC u triangle et M un point du plan.

Les projetés orthogonaux de M sur les droites (AB), (AC) et (BC) sont alignés si et seulement si M appartient au cercle circonscrit à ABC.

De même pour les symétriques par rapport aux droites.

Dans le premier cas on parle de la droite de Simpson associée à M, relative au triangle ABC, dans le second cas, de la droite de Steiner. On passe de la première à la seconnde par une homothétie de centre M et de rapport 2. La droite de Steiner passe par l'orthocentre du triangle (cette dernière propriété ne servira pas en soi ici).

Euler2.fig

On s'intéresse ici aux droites de Steiner et de Simpson des points A', B', C' du cercle circonscrit à ABC qui permettent la construction des points de contact E1, E2 et E3 de la conique avec le triangle. Dans l'illustration ci-dessous, on a tracé les droites pour le point B' : U et V sont les projections orthogonales de B' sur (AB) et (BC). Ces points sont donc alignés avec HB la projection orthogonale de B' sur (AC). De même, en notant U' et V' les symétriques de B' par rapport aux droites (AB) et (BC), ces points sont alignés avec H - l'orthocentre - qui est aussi le symétrique de B' par rapport à (AC). On constate que la droite de Steiner de B' est paralléle au côté opposé [HCHA] du triangle orthique HAHBHC de ABC. En effet, l'homothétie de centre B qui envoie H sur B', envoie aussi - par conservation de l'orthogonalité - HC sur U et HA sur V, donc (UV) et (HCHA) sont bien parallèles. Nous avons ainsi le résultat suivant : Les droites de Steiner des points A', B', C' symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés du triangle sont respectivement parallèles au côté opposé associé du triangle orthique. Nous nous proposons maintenant de voir que l'intersection d'une telle droite de Steiner avec le côté correspondant du triangle est un point de la directrice de la conique : par exemple dans l'illustration ci-dessus la droite de Steiner de B' coupe (AC) en un point de la directrice de la conique associée à H.

Directrices de la conique

Rappels : Étant donnés une conique de foyer F, et une tangente T à la conique en un point A, la tangente coupe la perpendiculaire en F à [AF] en un point de la directrice associée au foyer.

Ainsi, pour montrer la propriété évoquée ci-dessus, il faut montrer que la droite de Steiner (U'H) associée au point B' est orthogonale à la droite (HE₁) où E₁ est le point de contact de la conique avec la droite (AC).

Les angles de marques de même couleur sont de même mesure Euler3.fig

Première hypothèse sur E1 : il est sur la médiatrice de [HB']. On a donc les égalités d'angles dans B'H E1 que l'on voit sur la figure en B', H, et en E1. Seconde hypothèse sur E1 : il est aussi sur (OB'). OBB' est donc isocèle, avec les angles en B et B' égaux. On remarquera par exemple que cela signifie que (HE1) est parallèle à (BO), mais cela ne sera pas utilisé par la suite. Ainsi l'angle au centre B'OB est-il égal au double de AE1B'. Construction de U : U, A, B' et HB sont inscriptibles dans le cercle de diamètre [AB'], donc les angles UB'H et BAC sont égaux comme tous deux supplémentaires de UAC (ou égaux dans le cas de l'hyperbole). Ainsi l'angle au centre BOC est-il le double de UB'H. Construction de V : U, B, V, et B'sont inscriptibles dans le cercle de diamètre [BB'] et en particulier les angles B'UV et B'BV sont égaux (ou supplémentaires dans le cas de l'hyperbole). Ainsi l'angle au centre B'OC est-il le double de l'angle B'UV. Il résulte de ces derniers résultats que la somme des trois angles HB'U, B'UV et B'E1A est égale à un angle plat. Ce qui est aussi le cas des angles HB'U, B'UV et UHBB'. Cela sigifie que UHBB' et B'E1HB sont égaux et donc que HI HB est rectangle en I. Et donc que la droite de Simpson (UV) de B' est orthogonale à (HE1). C'est donc aussi le cas de la droite de Steiner (U'H).

Euler4.fig

D'après le rappel précédent, cette droite (U'H) coupe (AC) en un point J de la directrice. La droite de Steiner associée au symétrique de l'orthocentre par rapport à une droite support d'un côté du triangle coupe cette droite en un point de la directrice de la conique.   Remarques : 1 - Si le côté (HAHC) est parallèle à (AC), la droite de Steiner de B' est parallèle à (AC), le point J n'existe pas : comme le triangle est supposé non équilatéral, il existe un côté du triangle orthique qui n'est pas parallèle à son côté associé, on peut alors toujours construire un point de la directrice à partir de ce couple de côtés. 2 - La preuve doit être adaptée dans le cas de l'hyperbole. Il suffit de reprendre les mêmes arguments et de les traduire par exemple en angles de droites : d'une manière générale, les angles égaux deviennent éventuellement supplémentaires et réciproquement : il est clair que l'argument en angles de droites convient encore; l'argument de l'usage de l'angle au centre double est d'ailleurs significatif à ce sujet.

Cas de l'hyperbole : par rapport au cas de l'ellipse,
ici UB'H et BAC sont égaux, alors que B'UV et B'BV sont supplémentaires

On notera aussi que comme droite orthogonale de la droite des centres des deux cercles, la directrice est parallèle à l'axe radical des deux cercles. Il serait intéressant d'observer le passage de l'un à l'autre.

Compléments sur la directrice associée à H et l'axe radical des cercles

Comme dans la remarque ci-dessus, on supposera que ABC n'est pas isocèle en B afin que les droites (AC) et (H_AH_C) ne soient pas parallèles. Soit K l'intersection de ces deux droites.

Illustration dans le cas de l'ellipse Euler5.fig

Les points AHCHAC sont cocycliques, sur le cercle de diamètre [AC], et donc les produits (algébriques) KA.KC et KHC.KHA sont égaux, ce qui signifie que K est sur l'axe radical des deux cercles circonscrit et d'Euler du triangle ABC. Si le triangle n'est pas isocèle (et pas rectangle), les trois intersections des droites-côtés du triangle et du triangle orthique se coupent en trois points alignés qui sont sur l'axe radical de ces deux cercles (qui s'appelle aussi l'axe orthique du triangle ABC). D'après ce qui précède, il est alors immédiat que : L'homothétie de centre C qui transforme HC en H transforme K en J et donc l'axe radical des deux cercles en la directrice de la conique associée au foyer orthocentre. On remarquera qu'il en serait de même de l'homothétie de centre A transformant HA en H.

Illustration dans le cas de l'hyperbole

On retrouve en particulier l'axe radical dans le cas où les deux cercles sont sécants.

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