Rappel du principal résultat utilisé

La projection orthogonale d'un foyer d'une conique à centre sur une tangente à cette conique appartient aussi à son cercle principal.

Si vous ne l'avez pas sur votre disque, pour réaliser la figure, vous aurez besoin de :

Charger la macro Conique par Foyer et Cercle directeur (fichier CnkFC1.mac).

On cherche donc à construire les coniques connaissant le cercle principal et deux tangentes T₁ et T₂.

Une construction

 

D'après le rappel, les deux tangentes T1 et T2 doivent couper le cercle principal. Notons D1 et D'1 les perpendiculaires à la droite T1 en ses points d'intersection avec le cercle. Les couples de foyers de la conique cherchée sont sur ces deux droites. Ils sont de même sur les droites D2 et D'2 orthogonales à T2 en ses points d'intersection avec le cercle principal. Les intersections des paires {D1, D2}, {D'1, D'2} donnent un premier couple (F1, F'1) de foyers solutions. Les intersections des paires {D1, D'2}, {D2, D'1} donnent un second couple (F2, F'2) de foyers solutions. La figure CP2Tgt1.fig de départ ci-contre

 

Il suffit alors de construire les cercles de centre respectif F'₁ et F'₂ et de rayon le diamètre [UV] du cercle principal pour conclure, en utilisant la macro rappelée ci-dessus.

D'une manière générale, on peut obtenir deux coniques de types différents - comme ci-dessus - ou de même type (déplacer les orientations des tangntes).

La figure CP2Tgt2.fig ( qui contient la macro d'introduction)

La macro Coniques par Cercle principal et 2 tangentes (fichier CnkCP2T.mac )

Quelques cas particuliers

Si une des deux droites est aussi tangente au cercle (comme T1 ci-dessous), la macro précédente donnent deux coniques confondues, comme on le vérifie avec la gestion des ambiguïtés.   Les deux droites D1 et D'1 sont confondues à la perpendiculaire à T1 en le point de contact avec le cercle, c'est l'axe focal de la conique : il n'y a donc qu'un seule conique. De plus, l'autre droite T2, si elle n'est pas elle aussi tangente au cercle principal - et si elle n'est pas parallèle à T1 - a ses deux perpendiculaires associées D2 et D'2 qui coupent cet axe focal nécessairement à l'extérieur du cercle. Voir pourquoi ... c'est immédiat. Ainsi, la conique, quand elle n'est pas dégénérée (T1 et T2 parallèles), est donc toujours une hyperbole.

Au contraire, si les deux droites T1 et T2 sont tangentes au cercle, la macro précédente donne deux coniques confondues avec le cercle, comme on le vérifie avec la gestion des ambiguïtés : on obtient alors nécessairement des ellipses ciculaires : D1 et D'1 sont confondues, de même pour D2 et D'2, et toutes les quatre passent par le centre du cercle; les foyers sont donc confondus. Cabri II recconnaît les ellipses circulaires.

Nouvel exemple de passage à l'infini dans Cabri II

Cet exercice est encore l'occasion d'apprécier les capacités de passage à l'infini dans Cabri II. Il est clair que l'écart entre les deux droites D₁ et D'₁ est maximal s'il est égal au diamètre du cercle principal. Pour cela, il faut que la droite T₁ passe par le centre de ce cercle. De même pour D₂ et D'₂ : l'écart est maximal si la droite T₂ passe par le centre du cercle. On peut aussi réaliser ce cas quand les deux droites T₁ et T₂ sont de plus orthogonales. Alors les 4 points F₁, F₂, F'₁, F'₂ forment un carré circonscrit au cercle principal : dans ce cas, l'excentricité (OF₂/OV) est alors égale à racine carrée de 2, et les coniques sont donc deux hyperboles équilatères dont les droites T₁ et T₂ sont des tangentes à l'infini : ce sont les asymptotes.

On vérifiera que la construction précédente résiste bien à ce passage à l'infini et que Cabri reconnaît effectivement dans cette situation une hyperbole équilatère.

Voici donc une nouvelle illustration de la robustesse de Cabri au passage à l'infini ... utilisable dans des formations ...

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