Comme on l'a vu dans les pages précédentes, l'idée de géométries non euclidiennes a eu du mal à émerger du fait même que la géométrie est née d'une modélisation de l'espace sensible, et que ses notions premières relèvent au départ de l'expérience physique. On a déjà mentionné les arguments des deux précurseurs, Saccheri et Lambert, qui étaient poutant allé loin dans l'obtention de résultats non euclidiens. Quand les géométries non-euclidiennes ont vu le jour, certains mathématiciens (During, Frege entre autre) les ont refusé, voire, pour le premier, se sont acharnés sur elles : fausses, elles ne pouvaient qu'être, car non conforme au réel.

Puis quand on a pris conscience, en particulier à partir des travaux de Klein, de l'unité des trois types de géométrie, que les géométries non-euclidiennes ne niaient pas celle d'Euclide, mais la généralisait, la question s'est posée de savoir laquelle des trois correspondait effectivement au monde sensible. Si les concepts de la géométrie ont mis deux mille ans pour se détacher de l'expérience physique d'où ils sont nés, nettoyés qu'ils étaient de leur emiprisme, tout neuf de leur axiomatique irréprochable, d'une certaine façon, ils s'y sont vite replongé ... peut-être trop vite comme on le verra dans les citations des cosmologues ...

Pour KANT (1724 - 1804), "le concept d'espace n'est en aucun sens d'origine empirique mais est une nécessité inévitable de la pensée".

GAUSS pense que l'expérience peut déterminer la géométrie la mieux adaptée au monde réel. Il mesure sur le terrain les angles d'un triangle formé par trois sommets de montagne et trouve la somme de 180 degrés 14,86 secondes ... ce qui, aux erreurs de mesure près, ne pouvait pas infirmer le caractère euclidien de l'espace physique.

LOBATCHEVSKY cherche un ordre de grandeur à la constante k de la formule fondamentale tan Pi(x)/2 = exp(-x/k). Rappelons que si k tend vers l'infini, la valeur Pi(x) tend vers Pi/2 pour toute valeur de x, et la géométrie se "rapproche" du modèle euclidien.

Lobatchevsky considère un triangle ABC dont le côté BC = a est égal au diamètre de l"orbite terrestre et dont le sommet A est une étoile fixe de direction perpendiculaire à (BC). Soit 2p la parallaxe maximale de l'étoile A. Alors Pi(a) est supérieur à l'angle CBA qui vaut Pi/2 - 2p. Il en tire donc la minoration k > a/tan 2p. Pour Sirius, on mesure 2p = 1" 24, ce qui donne k > 166 000 a Pour une autre étoile 2p = 0"1, et k > 106a. Si l'espace est hyperbolique ... il l'est donc bien peu ....

EINSTEIN, dans sa théorie de la relativité générale, reprend les concepts les plus généraux de Riemann. Le monde est une variété à 4 dimensions, régi par un champ métrique dépendant de la répartition de matière. Un corps pesant courbe l'univers dans son voisinage et, localement, l'univers est non euclidien. Dans cet univers courbe, un corps - et en particulier la lumière - décrit les géodésiquesce qui a été confirmé par l'expérience, dès 1919 par Eddington au cours de l'éclipse totale du soleil cette année : les rayons lumineux sont bien déviés au voisinage su soleil, dans la mesure même prévue par la thèorie. Donc localement l'univers est non-euclidien. Et globalement ?

Géométriquement, le problème revient à la question cosmologique de la densité d de l'univers et de sa comparaison par rapport à une valeur critique d_c , de l'ordre de 5.10^-30 g/cm3, soit environ 3 atomes d'hydrogène par m³.

si d < dc	la courbure est négative	type Lobatchevskien	modèle ouvert
si d = dc	la courbure est nulle	type Euclidien	modèle ouvert
si d > dc	la courbure est positive	type Riemannien	modèle fermé (volume fini)

Les mesures de la densité de l'univers ne sont actuellement pas satisfaisantes pour conclure, sinon que l'univers est, de toute façon, globalement peu courbé, ce dont Lobatchevsky s'était déjà aperçu. A chacun des modèles correspond également un taux de ralentissement de l'expansion de l'univers : 1/2 pour le modèle euclidien , supérieur pour le modèle elliptique et inférieur pour le modèle hyperbolique. Des méthodes de mesure de ce taux existent, mais pour le moment, on ne trouve seulement qu'une valeur approchée ... qui est 1/2, bien entendu.

Pour ce qui est de la cosmologie, l'approche uniquement géométriques que nous avons ici reste toutefois réductrice. Certes, les solutions des équations d'Einstein, trouvées par Friedmann et Lemaître, aboutissent à des modèles cosmologiques qui, à tout instant, ont en tout point une courbure identique. Cette courbure peut varier avec le temps, ce qui donne à ces modèle un caractère dynamique, au départ inattendu, et qui fut confirmé par l'expérience : tout d'abord le "décalage vers le rouge" des raies spectrales des objets extragalactiques est observé par Hubble et interprété comme une preuve de l'expansion de l'univers, mais surtout le rayonnement cosmologique prévu par la théorie est découvert en 1965, ce qui assoie la théorie du big bang pour quelque temps.

"Certains travaux récents ont attiré l'attention des cosmologistes sur la possibilité que la topologie de l'univers ne soit pas simplement connexe, et des méthodes d'observations ont été proposées pour vérifier cette hypothèse. Dans le cas où l'univers est multiplement connexe, on peut obtenir des espace hyperboliques - ou même localement euclidiens - qui sont bornés spatialement. C'est le cas par exemple du tore à 3 dimensions. Si notre univers était un tore à trois dimmensions, nous aurions l'impression de vivre dans un espace euclidien s'étendant à l'infini, alors qu'il s'agirait d'une illusion d'optique. Les multiples étoiles qui se présenteraient à nous sur la voute céleste seraient en fait des images fantômes des mêmes étoiles, qui pourraient ainsi être en nombre relativement réduit. (...)
Bien-sûr, il existe beaucoup de variantes topologiques du modèle d'Einstein-de Sitter [ie euclidien] et des modèles hyperboliques de Friedmann-Lemaître qui n'ont pu être testées : une signature trés propre de ces topologies pourraient être inscrites dans la distribution à très faible échelle des anisotropies de la température du rayonnement de fond (...)
Le problème de la forme de l'univers a aujourd'hui quitté le domaine de la spéculation métaphysique. Les observations futures de la distribution des grandes structures et la cartographie précise des anisotropies du rayonnement cosmologique pourraient ainsi modifier profondément nos vues traditionnelles."

J. Demaret et D. Lambert
HS1 - La Recherche - Avril 98

 

Par exemple dans sa théorie de l'atome primitif - ancêtre du Big bang - Lemaître a proposé, en 1925, d'utiliser un modèle "non simplement connexe" en prenant explicitement le modèle elliptique de Riemann dans lequel les points diamétralement opposés sont identifiés. Voir aussi A. Friedmann, G. Lemaître - Essai de cosmologie - Seuil 1997.

Enfin, même si cela déborde de notre cadre, signalons que cette "géométrisation" de l'univers - imposée de fait par la relativité générale quand Einstein a choisi d'utiliser la représentation de Reimann est parfois critiquée par certains auteurs, voir même rejetée. Par exemple :

• Jean Marc Levy Leblond remarque que "les progrés actuels (mais limités) accomplis vers une unification des forces ont été réalisés en prenant la direction exactement opposée à celle que proposait Einstein. Plutôt que de géométriser les forces fondamentales autres que la gravitation, c'est en dégéométrisant cette dernière qu'on les a rapprochées". (Aux Contraires - p 144 - Gallimard 1996)

• Ilya Prigogine, dans son ouvrage "La fin des certitudes", critique lui, chez Stephen Hawking ("Une brève histoire du temps") : "l'interprétation purement géométrique de la cosmologie : le temps ne serait en quelque sorte qu'un accident de l'espace. Mais Hawking comprend que ce n'est pas suffisant : nous avons besoin d'une flèche du temps pour rendre compte de la vie intelligente. Et donc, comme beaucoup de cosmologiste, Hawking se tourne vers le principe "anthropique", un principe pour le moins aussi arbitraire que le clinamen d'Epicure." (La fin des certitudes - p 23 - 24 - Edition Odile Jacob - 1996 - voir aussi p 199)

Quelques brefs points de repère :

Hawking introduit un temps imaginaire pur (it), ce qui , effectivement, spatialise entièrement "l'espace-temps" et symétrise totalement les formules de Lorentz. C'est un ardant partisant du principe anthropique, y compris de sa forme forte, explicitement finaliste. Hawking a pu dire que s'il connaissait "la théorie du tout" alors il connaîtrait "l'esprit de Dieu". C'était pourtant aprés Godel qui a montré que déjà l'arithmétique contient des propositions indécidables ... mais passons.

Prigogine est au contraire un militant ... de tout temps ;-) ... de l'introduction de la "flèche du temps" dans la dynamique, y compris dans la cosmologie et propose - ou soutient - plusieurs approches dans "La fin des certitudes". Pour lui "le temps précède l'existence" - c'est d'ailleurs un chapitre de l'ouvrage. En cela, il rejoint tout un courant de la cosmologie actuelle, sur des bases différentes.

Le principe "anthropique", dans sa version faible, veut que le simple fait de notre existence nous permet d'obtenir des informations sur notre environnement cosmologique comme l'âge, la taille ou la densité moyenne de l'univers. Les deux auteurs cités plus haut ont publié un ouvrage sur (pour) le principe anthropique. Introduit dans les années 60, son utilisation en cosmologie divise les scientifiques, pour le moins ! Il est fondé sur le fait que notre univers est somme toute bien singulier - comme un modèle euclidien par rapport à la potentialité de toutes les géométries - et argumente que "c'est l'unité la plus achevée, l'individuation la plus forte, qui donne du sens, non l'inverse". Une des alternatives en cosmologie est la notion d'univers multiples promue par les théories des cordes, voire une construction "darwinnienne" de l'univers (alors auto-organisé) - issue de "la gravitation quantique en lacets" - théorie dans laquelle l'espace et le temps sont discrets sur la base des "réseaux de spin" de Roger Penrose lui-même.

Bibliographie sur ce thème

 

Terminons en revenons à des considérations sinon géométriques, au moins de géomètres :

Poincaré va dans le sens de Kant, quand il pense que

"les postuats de la géométrie ne sauraient exprimer de relations physiques, mais qu'ils constituent seulement des conventions d'aprés lesquels on interpréte les faits constatés empiriquement. (...) F. Enrique critique [en 1910] ce point de vue nominaliste. Une analyse détaillée du sens que l'on peut donner au mot "espace" l'amène à conclure que le nominalisme de Poincaré, aussi bien que celui de Kant, sous-entend une conception transcendante par rapport à une réalité phénoménale. Les propriétés géométriques ne sauraient correspondre à des relations entre les corps et l'espace conçu en dehors de ceux-ci, mais bien à des relations entre les corps eux-même.
Dès lors, et conformément aux vues de B. Riemann et H von Helmholtz, la géométrie doit être considérée comme une branche de la physique"

(Encyclopédie des sciences mathématiques. Tome III. Vol 1 p 5 et 6)

 Décidément, l'espace, s'il est topologiquement séparé, est aussi séparant pour les humains et leurs idées ...

 

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