Parabole - Générations tangentielles

Autres propriétés des paraboles
4 - Enveloppes : génération tangentielle

[1 - Cordes d'une parabole] [2 - Second théorème de Poncelet] [3 - Tangentes et similitudes]
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Cette page reprend simplement les propriétés déjà vues sur les tangentes à une parabole en les interprétant en terme de génération tangentielle.

Rappelons qu'on appelle enveloppe d'une famille de droites une courbe qui est tangente à chacune des droites de la famille. Cette courbe est alors dite engendrée tangentiellement par cette famille de droites.

Générations tangentielles relatives la construction par point

F est un point fixe, H décrit une droite fixe d. On sait que l'intersection M de la médiatrice de [FH] et de la perpendiculaire à d passant par H décrit une parabole et que la médiatrice est la tangente à cette parabole en M.

On en déduit la génération tangentielle suivante :

L'enveloppe d'une droite pour laquelle le symétrique H d'un point fixe F par rapport à cette droite décrit une droite d est une parabole de foyer F et de directrice d.

Par ailleurs, la projection orthogonale de F sur cette médiatrice décrit l'homothétique de la directrice dans l'homothétie de centre F de rapport 1/2, dont on sait que c'est la tangnete au sommet de la parabole

On en déduit une autre écriture de cette même génération tangentielle:

Soit F un point fixe. L'enveloppe de la droite perpendiculaire en H au segment [HF], quanf H décrit une droite d, est une parabole de foyer F et de tangente au sommet la droite d.

Génération tangentielle relative aux rapports égaux

La propriétés de similitude d'une tangente mobile à une parabole relativement à deux tangentes fixes aboutit dans sa réciproque à la construction par enveloppe suivante :

L'enveloppe des droites (MM') qui partagent sur deux droites non paralléles (PQ) et (P'Q') les segments [PQ] et [P'Q'] dans le même rapport est une parabole tangente aux deux droites (PQ) et (P'Q').

La figure PPEnv1.fig correspondante.

Cette dernière génération tangentielle sera à l'origine de plusieurs exercices intéressants.

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Rappelons qu'on appelle enveloppe d'une famille de droites une courbe qui est tangente à chacune des droites de la famille. Cette courbe est alors dite engendrée tangentiellement par cette famille de droites.

Générations tangentielles relatives la construction par point

F est un point fixe, H décrit une droite fixe d. On sait que l'intersection M de la médiatrice de [FH] et de la perpendiculaire à d passant par H décrit une parabole et que la médiatrice est la tangente à cette parabole en M.

On en déduit la génération tangentielle suivante :

L'enveloppe d'une droite pour laquelle le symétrique H d'un point fixe F par rapport à cette droite décrit une droite d est une parabole de foyer F et de directrice d.

Par ailleurs, la projection orthogonale de F sur cette médiatrice décrit l'homothétique de la directrice dans l'homothétie de centre F de rapport 1/2, dont on sait que c'est la tangnete au sommet de la parabole

On en déduit une autre écriture de cette même génération tangentielle:

Soit F un point fixe. L'enveloppe de la droite perpendiculaire en H au segment [HF], quanf H décrit une droite d, est une parabole de foyer F et de tangente au sommet la droite d.

Génération tangentielle relative aux rapports égaux

La propriétés de similitude d'une tangente mobile à une parabole relativement à deux tangentes fixes aboutit dans sa réciproque à la construction par enveloppe suivante :

L'enveloppe des droites (MM') qui partagent sur deux droites non paralléles (PQ) et (P'Q') les segments [PQ] et [P'Q'] dans le même rapport est une parabole tangente aux deux droites (PQ) et (P'Q').

La figure PPEnv1.fig correspondante.

Cette dernière génération tangentielle sera à l'origine de plusieurs exercices intéressants.

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