|
|
|
|
|
|
En guise d'introduction, nous vous proposons de commencer par deux exemples de situations où l'intervention d'une démarche de géométrie logique est naturelle. Puis nous verrons un premier exemple simple d'une mise en place d'activité scolaire spécifique à la géométrie dynamique.
Soit un segment [AB] et I un point. On se propose de construire un point C tel que le triangle ABC ait I comme centre du cercle inscrit.
(AI) et (BI) étant alors les bissectrices du triangle ABC, on construit (à gauche sur l'applet ci-dessous) A' et B' les symétriques de A et B par rapport à (BI) et (AI).Les droites (AA') et (BB') se coupent en un point C solution : l'exercice traité de cette façon dans l'environnement papier crayon est en général accepté, car le point I est - de fait - donné aux élèves pour qu'il y ait un solution.
Mais si, sur la figure gauche de l'applet ci-dessous, vous déplacez I, vous vous apercevrez que la construction peut donner aussi ... un des cercles circonscrit. Cela signifie que la construction précédente doit être conditionnée à son domaine de validité, comme fait ci-dessous à droite.
Déplacer le point I dans les deux figures pour voir la différence de traitement
Détail de la construction dans abraCAdaBRI
L'utilisation d'un langage humain est nécessairement séquentielle. Sa matérialisation sur un support statique de communication paraît alors induire une transposition particulière des mathématiques, qui la rend séquentielle dans sa description. Cette transposition séquentielle des mathématiques - et donc des activités associées - induit une approche séparable (en un sens correspondant à celui de la topologie) des preuves, puisque le langage discursif autorise la séparation des cas. Et paradoxalement, cette séparabilité, permettant aux objets mathématiques de n'être appréhendés - car décrits - dans leur transposition séquentielle que dans un contexte isolé et partiel, évite d'avoir à rendre compte d'une unité intrinsèque de l'objet mathématique en soi.
L'apport de la géométrie dynamique comme implémentée dans Cabri propose une autre transposition de la géométrie, plus fine, qui a déjà, a priori, le mérite de mettre en relief l'existence d'une autre transposition : cette transposition originelle à laquelle nous sommes tous assujettis sans en être généralement conscients. La dualité a d'abord la particularité de briser l'identification. Par exemple nos élèves (respectivement nous) font souvent (avons fait aussi) des dessins géométriques sur du papier avec des outils que l'on a considéré, par un vocabulaire et des pratiques séculaires, comme des outils de géométrie, alors que nous pouvons maintenant prendre conscience, par la pratique de la géométrie dynamique, que ce sont des outils de dessin sur papier.
On se propose d'illustrer maintenant la troncature du cube par les sommets. Une construction simple est donnée par la figure de gauche de l'applet ci-dessous. Elle s'applique naturellement quand le "point de coupe" est dans la première moitié de l'arête (par rapport au sommet de référence). Mais quand le point qui détermine cette troncature se déplace sur l'arête du cube, l'application d'un unique algorithme de construction aboutit au résultat que vous observerez sur la figure de gauche alors que la construction attendue est celle de la figure de droite.
|
|
|
|
|
|
|
Déplacer, ou animer le point gras dans les deux figures pour voir la différence de traitement
Détail de la construction dans abraCAdaBRI
|
|
Sur la figure ci-contre, le segment le plus petit est tracé en rouge. A et B ont été placés (par l'enseignant) que l'on puisse avoir les deux segments rouges - et donc tous les deux plus petits, soient égaux). On peut alors faire chercher aux élèves le lieu des points équidistants par la méthode dite "du lieu mou", c'est à dire en effectuant la trace du point M que l'on déplace, le critère étant de conserver les deux segments rouges. Vous, qui connaissez la solution, vous pouvez vous exercer à ce lieu mou ...
|
Retour sur abraCAdaBRI |
Retour sur
"abra-Java" |