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Introduction | Cercle d'euler et plus | CP + 2 tgtes | F + 1 P + 2T puis 2P + 1T | Intersection RC même F
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Introduction | Cercle d'euler et plus | CP + 2 tgtes | F + 1 P + 2T puis 2P + 1T | Intersection RC même F
Cette page rappelle les premières propriétés générales aux coniques définies par foyer et cercle directeur et propose deux constructions d'application
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Etant donnés un point F' et un cercle C de centre F, on considère la conique ainsi définie par foyer et cercle directeur. L'homothétie de centre F' de rapport 1/2 transforme le cercle C en un cercle dit principal. Le cercle principal a pour centre celui de la conique et passe par les sommets de la coniques (intersection de l'axe focal et de la conique). La tangente en P étant la médiatrice de [F'M], l'homothétique de M est un point U, de la tangente, mais aussi du cercle principal : Les foyers d'une conique à centre se projettent orthogonalement sur les tangentes en des points appartenant au cercle principal de la conique. Clic pour aréter l'animation, double-clic pour prendre la main et avoir les outils de CabriJava et changer le ressort . |
Par ailleurs, puisque la tangente
en P est la médiatrice de [F'M], cette
tangente est bissectrice de l'angle de FPF'.
Les vecteurs PF et PM sont
R-- colinéaires dans le cas de l'ellipse,
la tangente est donc une bissectrice extérieure de
l'angle FPF', c'est alors la normale qui est la bissectrice
intérieure :
La normale en un point P d'une
ellipse de foyers F et F' est bissectrice intérieure
de l'angle FPF'.
Par contre, les vecteurs PF et PM
sont R+- colinéaires dans le cas de
l'hyperbole, la tangente est alors une bissectrice
intérieure de l'angle FPF' :
La tangente en un point P d'une
hyperbole de foyers F et F' est bissectrice
intérieure de l'angle FPF'.
On notera
que l'on peut déplacer un point - par exemple F -
lors de l'animation : CabriJava est très fort. Par
exemple sortir F du cercle principal pour poursuivre
l'animation sur une hyperbole.
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Etant donné un point P on veut construire les tangentes issues de P à une conique définie par foyer F et cercle directeur associé. On commence par construire le cercle principal. On sait que le foyer se projette orthogonalement sur la tangente en un point du cercle principal. Donc la projection orthogonale du foyer F sur les tangentes issues de P est à l'intersection du cercle principal et du cercle de diamètre [PF]. Soient T1 et T2 ces deux points. Les tangentes sont donc les droites (PT1) et (PT2). La construction des points de contact C1 et C2 des tangentes et de la conique se fait par l'utilisation des deux cercles directeurs : M1 est le symétrique de F par rapport à (PT1) et M2 celui de F' par rapport à (PT2). M2 appartient à l'autre cercle directeur, centré en F. Ci-contre on a ajouté la conique - comme élément d'illustration visuelle - mais la construction est effectuée "règle et compas" |
a - Conique définie par un foyer et trois tangentes
b - Conique définie par un foyer et trois tangentes dont une avec son contact
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