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Ces applications sont orientées vers des constructions de coniques connaissant quelques éléments. On est bien loin d'épuiser le sujet puisque Pascal a déduit plus de 400 corollaires du théorème de l'hexagramme.
Six points A, B, C, A', B', C', dont trois ne sont jamais alignés, sont sur une même conique si et seulement si les intersections P de (AB') et (BA'), N, de (AC') et (CA') et M de (BC') et (CB') sont trois "points alignés".
On a donc 4 points, il suffit de construire un cinquième point. Pour cela, on utilise directement le théorème.
Remarque technique : comme les trois points C, B', A ne sont pas alignés, l'une des deux droites (CB') ou (AB') n'est pas parallèle à la tangente. On peut donc appliquer la macro même si l'une des deux est parallèle à la tangente : il suffit de choisir pour deuxième et troisième point, ceux pour lesquels la droite n'est pas parallèle à la tangente.
Il suffit de construire un point supplémentaire de la conique, et d'appliquer la figure précédente, transformée en macro.
D'autres constructions de ce type sont disponibles dans la page Coniques et involutions
On a déjà vu la construction du centre d'une conique en utilisant le tracé de cette conique (et son intersection avec une droite). On se propose ici de réaliser la même construction sans tracer la conique : la méthode est la même que dans le premier cas : le centre est à l'intersection des droites passant par le milieu de deux cordes parallèles.
Etape 1 : Construction de l'intersection d'une conique avec une droite parallèle à une corde de la conique en un point de cette conique.
Etape 2 : Application à la construction du centre
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À partir de 5 points A, B, C, D et E, on peut, par la macro précédente, construire E' de la conique passant par ces 5 points, tel que (EE') // (AB) et A' tel que (AA') // (BD). On construit alors les droites des milieux des cordes parallèles (MN) et (PQ). Le centre de la conique est l'intersection de ces deux droites. Approche affine pour l'ellipse : le milieu des cordes parallèles est la version affine de la médiatrice d'une corde d'un cercle. Par transformation affine cette lecture affine donne le centre. Cas général (ellipse et hyperbole) : la droite (MN) est la polaire par rapport à la conique du point à l'infini dans la direction (AB), de même (PQ) est la polaire du point à l'infini dans la direction (BD). (voir aussi pôle et polaire ou encore macros projectives pour des macros plus récentes ... et plus robustes.
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Un joli bonus en trois pages : théorème de Pascal et théorème de Morley
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