Axiomatique de Bachmann
pour les plans métriques

1 - Introduction

 Attention : seules les pages 1, 2, et 8 sont rédigées

Dans les autres parties de présentation des Géométries Non Euclidiennes (GNE) nous avons pu voir - brièvement exposées :

1 - L'évolution de la pensée vers la sortie d'une géométrie à caractère implicitement empiriste ("Histoire des GNE")
2 - L'effort réalisé à la fin du XIX° pour arriver à une axiomatique précise de la géométrie euclidienne ("Les fondements" de David Hilbert).
3 - Les différentes variantes autour des géométries construites selon les axiomes initiaux (les constructions de Cayley, les géométries non archimédienne ou non pyrthagoricienne ...)
4 - L'approche algébrique de la géométrie, et les liens entre les figures de base et le corps de nombres construit.

Le propos de David Hilbert était la réalisation d'une axiomatique précise et complète, proche du style des éléments d'Euclide. D'où les axiomes de congruence sur les segments et les angles.

Dans les axiomatiques plus récentes, on remplace avantageusement les axiomes de congruence par des axiomes sur les isométries minimales que l'on souhaite trouver dans la géométrie étudiée : les structures - essentiellement le groupe des isométries - vont alors aider à aborder plus simplement la géométrie. Par ailleurs, on a renoncé a définir les objets de base explicitement en ce sens que ces définitions relèvent toujours d'une interprétation (exemple sur droite/point Interprétation 3), et on préfère désormais définir des relations - incidence, parallélisme et orthogonalité - entre des concepts - point, droite, plan - que l'on ne définit plus : au contraire, ce que l'on entend par ces concepts relève d'une interprétation d'un système d'axiomatique et de la construction éventuelle d'un modèle de ce système au sens logique du terme.

Dans ce cas, on choisit aussi, par des sysèmes axiomatiques plus simple que ceux de Hilbert, Kerekjarto ou encore Greenberg, de construire des géométries multiples : avec les axiomatiques précédentes on construisait une géométrie univalente : tous les modèles de même dimension sont isomorphes. Dans les modèles minimaux, ce n'est plus le cas, au moins pour les premiers systèmes d'axiomes, d'où les structures "semi-hyperbolique" ou semi-elliptiques" qui sont une généralisation, pour d'autres arguments, de la géométrie dite semi-euclidienne trouvée par Dehen (infinité de parallèles et somme des angles d'un triangle égale à deux droits) quand il a étudié la relation entre l'archimédie et la démonstration de Legrendre sur la somme des angles d'un triangle.

Analyse intuitive des concepts géométriques

Les axiomatiques de la géométrie n'entrent pas dans la théorie générale des structures pour différentes raisons, dont certaines simplement historiques, mais peut-être aussi parce que les interprétations et modèles que l'on peut en donner se doivent de pouvoir répondre à une réalité expérimentale, immédiate et directement perceptive dans le cas euclidien, moins immédiates mais tout aussi présente dans des géométries plus abstraites (les géométries symplectiques par exemple ont des applications immédiates en quantique, etc ...)

Il est intéressant d'observer les "analyses intuitives" que donnent les auteurs avant leur axiomatiques, ce sont en fait les points clés de leur interprétation qui seront ensuite conceptualisés. Pour rendre compte de la congruence - en définitive du mouvement - nous avions repris celle de Kerekjarto. Voyons celle que propose l'axiomatique de Bachmann, qui sera basée sur les isométries, au moins pour le plan :

Incidence - ordre - axe

L'incidence sera interprétée en terme ensembliste : appartenance d'un point à une droite et inclusion d'une droite au plan. Intuitivement une droite peut être "parcourue" - peut-on se libérer du mouvement dans les interprétations ? - de deux façons, ce qui induit une relation d'ordre sur une droite. Une droite orientée est appelée un axe.

Demi-droite - segment - vecteur

Un point d'une droite définit alors deux demi-droites. Deux points distincts A et B d'une droite définissent 4 demi-droites. On définit ainsi le segment [AB], les points du segment étant alors "entre A et B" pour les relations d'ordre sur la droite. Un segment orienté est appelé vecteur. Une demi-droite orientée est appelée rayon.

Séparation et orientation du plan

Le complémentaire d'une droite est formée de deux demi-plans (ouverts). Si deux points A et B sont dans l'un de ces demi plan, le segment [AB] ne rencontre pas la droite, alors que s'ils sont chacun dans l'un des deux demi-plans, le segment [AB] rencontre la droite.

 Représentation dans les trois géométries classiques

Modèle hyperbolique (les droites sont les arcs de cercles orthogonaux à l'horizon) BIntro01.fig

Modèle euclidien (parabolique)

Modèle elliptique (les droites sont les arcs de cercles interceptant l'équateur en deux points diamétralement opposés) BIntro02.fig

En parcourant un axe dans son sens croissant, on oriente le plan en décidant que que l'un des deux demi-plans (celui de gauche ou celui de droite) comme positif - respectivement négatif.On appelle drapeau, un triplet (A, d, p) où A est un point, d un axe incident à A, p un plan orienté incident à d.

Réflexion plane (ou symétrie orthogonale)

Une réflexion de droite d est une bijection du plan qui transforme tout droite en une droite. La droite d est la seule qui soit invariante point par point. Si d et le plan sont orientés, par la réflexion d'axe d, la droite d conserve son orientation alors que le plan en change.
En composant les rélexions, on obtient les isométries du plan.
Deux drapeaux quelconques du plan sont l'image l'un de l'autre par une isométrie (on sait que trois réflexions suffisent).

Les droites conservées (globalement) par la réflexion de droite d, différentes de d, sont dites orthogonales à d. Alors d est aussi orthogonale à ces droites.

Exemple de la représentation hyperbolique du cercle de Poincaré :

Le plan est l'intérieur d'un cercle, appelé horizon
les points sont les points à l'intérieur de l'horizon,
les droites sont les traces dans l'horizon des cercles orthogonaux à l'horizon,
La symétrie orthogonale est l'inversion euclidienne par rapport au cercle support de la droite.

Alors, si on sait que l'inverse d'un cercle orthogonal au cercle d'inversion est globalement invariant (par conservation des tangentes par exemple) il est facile de vérifier que dans cette interprétation, la symétrie orthogonale par rapport à une droite d : a) est une bijection du plan qui envoie un demi-plan sur l'autre et laisse la droite invariante point par point. b) l'image d'une droite est une droite. c) les seules droites globalement invariantes ont pour support un cercle orthogonal à la fois à l'horizon et à la droite d. C'est exactement ce modèle que l'on "redécouvrira" au cours de la présentation de la géométrie hyperbolique. Ci contre on observe clairement que (AA'), (BB') et (CC') sont orthogonaux à d qui est leur perpendiculaire commune. BIntro03.fig

Angles

Dans un plan orienté, on appelle angle orienté un couple - ordonné - de demi-droite (les deux côtés de l'angle) de même origine (le sommet). Pour définir des opérations sur les angles - comparaison ou addition - et les mesurer, on est amené à considérer leur intersections avec le cercle de centre le sommet de rayon 1 - ici on suppose que la géométrie est assez riche pour qu'un tel cercle existe et que les intersections avec les demi-droites existent.

Les droites support des demi-droites sont orientées dans le sens naturel de la demi-droite : de l'origine O à un point de la demi-droite (A ou B ci-dessus). L'arc orienté associé à un angle orienté - ci-dessus l'angle (OA, OB) - est celui contruit depuis la première demi-droite à la seconde en restant à la fois dans le demi-plan positif par rapport à la première demi-droite et dans le demi-plan négatif par rapport à la seconde.

Pour comparer ou additionner des angles orientés, on définit ces opérations à partir de classes d'équivalences : deux angles sont dans une même classe si l'on peut passer de l'un à l'autre par un nombre pair de symétries (isométrie directe). Les additions des classes d'équivalence se font en prenant deux représentants de même sommet tel que le second côté du premier angle coïncide avec le premier côté du second angle. Le résultat est indépendant du choix des représentants. Toutefois, pour avoir une relation d'ordre compatible avec l'addition il faut quotienter par 2PiZ ...

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