Equivalence entre les définitions

1 - Monofocale vers Bifocale par Foyer et Cercle Directeur

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Soit C(F, d, e) une conique de foyer F de directrice d et d'excentricité e (différent de 1), construite ci-contre avec la macro qui construit une conique de type C(F, d, A) c'est-à-dire passant par A, l'excentricité étant définie par le point A.

Présentation de la méthode

À partir d'un point P de la conique, on mène la tangente en F au cercle C1 de centre P passant par F. Cette tangente coupe la directrice en T. Comme PFT est droit en F, on sait que la droite (TP) est la tangente en P à la conique.

Soit alors M le symétrique de F par rapport à (TP). Par construction (TM) est la tangente en M au cercle C1 de centre P passant par F.

La droite (MP) coupe l'axe focal en un point F'. On construit alors le cercle de centre F' passant par M. C' est tangent à C1.

Si on montre que C' est fixe - ie son centre F' fixe et son rayon R = F'M aussi - par construction le point P appartiendra à la conique de foyers F et de cercle directeur C'.

Première étape de résolution :
2 triangles semblables

Soit H la projection orthogonale de P sur la directrice. Les 5 points P,F, T, H, M sont cocycliques sur le cercle de diamètre [TP].

On a donc les égalités d'angles de droites :

(HP, HM) = (FP, FM) = (MF, MP) puisque MPF est isocèle en P. Egalité vraie aussi en angles géométriques.

Par ailleurs, par construction, on a aussi l'égalité (PM, PH) = (F'P, F'K).

Ainsi les triangles HPM et MF'F ayant ses angles géométriques égaux sont semblables. On a donc PM/PH = FF'/F'M, soit, comme PM = PF, on a e = PF/PH = FF'/R.

Par ailleurs, comme e est différents de 1, FF' n'est pas égal à R.

MonoBiFC.fig

Seconde étape : C' est indépendant de M

Par ailleurs, le point T appartient à l'axe radical des cercles C' et C1 (de centre F' et P passant par M) et à l'axe radical du cercle C1 et du cercle-point F (puisque TF = TM). Ainsi, le cercle C' et le cercle-point F ont comme axe radical la perpendiculaire à (FF') passant par T, c'est la directrice d.

On a donc KF'2 - KF2 = R2 (ie la différence du carré des rayons). Soit KF'2 - KF2 = FF'2/e2.

Notons . On a donc . Par ailleurs a et b sont différnts car R est non nul.

On a alors . On en déduit que . Ainsi a - et donc F' - est entièrement déterminé. F' est ainsi fixe. Par R = FF'/e, le rayon du cercle C' est lui aussi fixe.

 

Conclusion

Donc C' est indépendant de P : c'est alors - par construction - le cercle directeur associé à F de la conique de foyer F, de directrice d et d'excentricité e.

 

 

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