Considérations générales

En dimension 2, si les notions d'aires (algébrique ou géométrique) sont euclidiennes, la notion de rapport d'aires algébrique peut être considéré comme une notion affine puisqu'elle est essentiellement un barycentre :

Si désigne l'aire algébrique d'un triangle (dans un repère orthonormé), et que M, N et P soient de coordonnées barycentriques normalisées (x_i, y_i, z_i) dans un repère affine ABC, on sait que le rapport d'aire algébrique entre les triangles MNP et ABC vaut :

Les coordonnées barycentriques étant conservées par une application affine, et l'image d'un repère affine étant un repère affine pour une transformation, la notion de rapport d'aire peut être considérée comme une propriété (des transformations) affine(s).

Point de vue vectoriel :

Si (u, v) est une base du plan vectoriel associé et f l'application linéaire associée à l'application affine considérée, on sait que det(f(u), f(v)) = det f. det (u, v). Or le déterminant - au coefficient 2 près, et dans une base orthonormale - est l'aire algébrique du triangle affine qu'il défini. Il en résulte - par la théorie de la mesure puisque c'est vrai pour les triangles - qu'une transformation affine multiplie les aires algébriques (respectivement géométriques) par le déterminant (respectivement sa valeur absolue) de l'application linéaire associée.

Cette page vous propose quelques illustrations autour de cette conservation.

Premières illustrations : conservation du rapport d'aire

a - deux triangles d'aires égales ont des images d'aires égales

TAAire01.fig

b - conservation du rapport aire d'un triangle à son cercle inscrit

La transformation affine envoie ABC sur A'B'C' fixe. ABC est modifiable en A, il est toujours circonscrit à un cercle fixe.

Comme l'indique la remarque, cette figure est construite pour "passer" par l'ellipse de Steiner.Le commentaire en rouge est une propriété d'appartenance de Cabri. Plaçons A ... où il convient :

TAAire02.fig

En manipulant soi-même le point A, on observera que le rapport d'aire est maximal quand l'ellipse est celle de Steiner (car c'est tout simplement aussi le cas pour le triangle circonscrit au cercle de départ).

Autres illustrations : les transformations affines conservant les aires

Pour qu'une transformation affine plane conserve les aires, il faut que son application vectorielle associée soit de déterminant 1 ou -1, c'est-à-dire que l'application affine transforme un triangle en un triangle de même aire. Commençons donc par construire un triangle A'B'C' de même aire que ABC : A' et B' seront deux points de base, et C' sera un point lié à une droite : Sur la demi-droite [A'B') on reporte A'B1 : la mesure c de [AB]. Sur la perpendiculaire en A à [A'B'], on reporte la longueur h le la hauteur de ABC issue de C. Une simple application de Thalès permet de construit le produit c.h, sur la perpendiculaire, dans l'unité A'B'. Le point C' est donc sur la parallèle à (A'B') passant par ce point ch.

Lancer la figure TAAire03.fig en l'état pour appliquer directement les macros TAff1pt.mac, TACnk.mac ou TACercle.mac.

Une transformation affine étant définie par {A, B, C} et son image dans {A', B', C'}- ci dessous avec les correspondances des lettres - on peut comparer les aires d'un polygone et de son image, d'un cercle ou d'une ellipse et de son image : TAAire04.fig Remarque : L'utilisation de polygônes illustre aussi que si une partie n'est pas convexe, son imag par une TAff ne l'est pas non plus, et donc (en utilisant la bijection inverse) que l'image d'un convexe est un convexe.

Pour le fun : jouer avec Cabri II

Animation de la transformation d'un polygone étoilé par une TAff (ici conservant les aires)

Lancer la figure TAAire05.fig pour effectuer l'animation.

Sur la figure suivante, C peut se déplacer sur un segment de longueur 3A'B'. On peut donc effectuer une double animation (la figure précédente a du être transformée en macro pour pouvoir redéfinir C' en un temps raisonable) :

Lancer la figure TAAire06.fig pour jouer avec cette double animation.

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