(Nathalie Aymé - La Réunion)

2 - Le devoir de maths

Rappelons que ce devoir a été donné pendant les grandes vacances qui, à La Réunion, sont ... au milieu de l'année scolaire, période cyclonique "oblige".
Il est clair que le texte a été adapté au format HTML et agrémenté d'images prises sur le site d'Urbicande. Une solution est disponible en téléchargement en fin de page.

MATHS ET BANDE DESSINÉE

Lecture mathématique de la bande dessinée
de Schuitten et Peeters "La fièvre d'Urbicande"

Urbicande est une ville d'une autre planète située dans une autre galaxie, à des millions d'années-lumière de la nôtre ... Urbicande est très belle, très structurée, avec de grands monuments d'une rare beauté architecturale. Larges avenues, façades harmonieuses, jardins majestueux ... tout ceci reflète une ville puissante dont le développement urbain a été l'oeuvre quasi-totale de l'urbatecte Eugen Robick.     Un cube mystérieux a été déposé sur le bureau d'Eugen Robick. Ce cube est à l'origine du développement d'un phénomène jamais vu jusqu'alors. L'urbatecte étudie de très près l'évolution de ce phénomène, car la ville est menacée.

A - Lecture dirigée des extraits de la bande dessinée

Relever, page par page, toutes les informations concernant l'évolution du phénomène : date / heure, dimension des arêtes du cube, nombre de cubes, etc.

Relever toutes ces informations dans un tableau du type :

On essaiera notamment de comprendre les brouillons de l'urbatecte Robick. Que représente u_n ?

B - Prévision du phénomène. Mise en équation

Robick expose l'évolution du phénomène devant l'Assemblée de la ville lors d'une réunion exceptionnelle.

Cube initial u0 = 1

Réseau de première génération : u1 = 7

Coupe suivant un plan de symétrie du réseau

 

a. À partir des schémas observés sur les brouillons de l'urbatecte, dessiner une coupe des réseaux de seconde et troisième génération. En déduire u₂ et u₃.

b. Montrer alors que sa formule donant u_n en fonction de n, exposée devant l'Académie est juste. Pour cela, utiliser les relations (déjà démontrées par ailleurs) :

En déduire que u_n est un polynôme de degré 3 en n, que l'on factorisera.

c. Remplir alors le tableau suivant :

Répondre à l'invitation de Robick à l'Assemblée générale (page 47) : "Je vous laisse imaginer ce que seront u₂₀, u₃₀, u₅₀ ...".

C - Un peu de schémas dans l'espace

a. Dessiner dans l'espace le réseau de première génération, en n'indiquant que les traits des arêtes visibles.

b. En reliant les milieux des arêtes des cubes externes d'un réseau donné, on matérialise un solide qui englobe presque complètement le réseau. On peut considérer que le volume de ce solide est une bonne approximation du volume du réseau.
La coupe par un plan de symétrie du réseau montre que la section de ce solide est un carré. Dessiner ce solide en perspective calière. Combien de face a-t-il ? d'arêtes ? de sommets ? quel est son nom ?
Inventer alors un nom à ce réseau construit autour du cube initial, à la génération n.

D - Evolution des arêtes du cube

Par un phénomène inattendu, la progression s'est arrêtée brusquement dès que le réseau a recouvert l'ensemble de la ville d'Urbicande. On cherche à répondre à la question suivante :

En supposant qu'Urbicande soit une ville dont la base est un cercle de 10 km de diamètre, et en supposant que le bureau d'Eugen Robick soit situé en plein centre-ville, à quelle génération la progression a-t-elle stoppé ?

a. On envisage dans cette question que l'arête a₀ du cube initial ne varie pas pendant le phénomène.

Combien y-a-t-il de cubes sur la diagonale [AC] du réseau à la n^ième génération ?

En recherchant a₀ parmi les données quantitatives fournies par Robick, en déduire la réponse à la question posée.

b. En fait il faut beaucoup moins de générations. On peut en effet imaginer, d'après les descriptions de l'urbatecte, que l'arête du cube initial suit une progression géométrique. On trouve en effet (page 47), cette remarque de Robick devant l'Assemblée :

"Si la progression se poursuit au même rythme, chacune des arêtes sera à ce moment longue de plusieurs mètres"

En notant toujours a₀ l'arête du cube initial, et a₁ celle des cubes de la première génération, on peut estimer, d'après un brouillon de Robick que a₁ est environ 20 cm. Donner la raison de cette progression - supposée géométrique - sous forme fractionnaire, et l'expression de la longueur a_n de l'arête des cubes à la n^ième génération, en fonction de a₀ et de n.

Montrer alors que la question posée revient à chercher à partir de quel rang n₀ on a l'inégalité :

En programmant sur votre calculatrice la suite de terme général w_n = (2n + 1)(4/3)ⁿ, donner la valeur de n₀ qui convient.

c. Donner le volume total V_n du réseau à la génération n en fonction de u_n, le nombre de cubes du réseau et de l'arête a_n, à la n^ième génération. En déduire ce volume pour n = n₀, l'exprimer en km³.

Quel est le volume du solide approchant le réseau comme étudié dans la partie C, lorsque n= n₀ ? Le comparer au volume du réseau Vn₀.

Charger une solution du devoir dans un des trois formats au choix :

UrbiSol6.doc (Word 6 - PC et Mac)

UrbiSol5 (Word 5.1 pour Mac seulement)

UrbiSol.pdf (format PDF de Acrobat - PC ou Mac)

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