Question technique de construction
dans Cabri II sur l'intersection de cercles
Tracé du lieu dans L02

 

Soient trois droites d, d' et T. Déterminer le lieu des foyers des coniques ayant les deux droites d et d' comme directrices et la droite T comme tangente.

 

Une approche naturelle

Soit I l'intersection de la tangente avec la directrice d.

Pour étudier le lieu de F, on s'intéresse naturellement à la construction du foyer associé à la droite d, en fonction d'un point A de T qui sera le point de contact de la conique avec sa tangente.

 

Etant donné un point A de la conique sur la tangente, F est sur le cercle de diamètre [AI] puisque le triangle AFI est rectangle en F.

De même le symétrique A' de A par rapport à l'axe de symétrie des deux directrices (parallèle à celles-ci) appartient à la conique et le symétrique de la tangente est aussi tangente à la conique. Soit T' cette droite. T' coupe la directrice d en J et la tangente T en K.

Alors le foyer associé à d est aussi sur le cercle de diamètre [JA'] puisque FJA' est rectangle en F.

Ainsi, le foyer est l'autre point d'intersection de ces deux cercles que celui qui est sur la directrice : par construction les deux cercles se coupent à l'intersection de d et de la droite (AA').

Lancer la figure PbBFL02a.fig ci-contre.

 

Le problème rencontré

 

On note alors naturellement F ce foyer et P le point d'intersection des deux cercles qui est sur la directrice.

Si on fait le lieu de F, il est vite clair que le segment [IJ] obtenu correspond à une question d'orientation de l'intersection des cercles quand A passe entre les deux droites.

Pour s'en convaincre, on peut effectuer le lieu de P au lieu de F, dans la même configuration :

On trouve l'autre arc d'un cercle et l'extérieur du segment [IJ].

Il semble clair que le lieu de F est le cercle circonscrit au triangle IJK - Quand celui-ci existe - mais il serait intéressant de pouvoir construire ce lieu correctement, c'est - à dire de pouvoir construire effectivement le point F comme étant l'autre intersection des deux cercles que celle sur la directrice d.

C'est ce que nous allons détailler dans la suite.

On voit ici clairement l'inverion des points P et F entre le cas où A est extérieur à la bande des deux directrices (hyperbole) et le cas où A est intérieur à cette bande.

 

Une solution possible

 

On remarque tout d'abord que le point d'intersection des deux cercles sur la directrice n'est rien d'aute que l'intersection de cette droite d avec la droite (AA'). Soit donc P ce point.

Soit ensuite U le milieu des deux intersections des cercles : si "F" et "P" sont inversés par Cabri quand A traverse la bande des directrices, le milieu U est inchangé.

On construit alors F comme l'intersection de l'un des cercles (ici celui passant par A avec la demi-droite [PU). Il n'y a donc plus d'ambiguité, et le lieu ressemble déjà plus à ce que l'on peut prévoir ...

La figure PbBFL02b.fig ci-contre.

C'est cette figure qui a été transformée en macro pour proposer la figure expérimentale.

Remarque : On peut envisager d'autres approches. Par exemple on pourrait penser partir du point P, choisi sur objet de d, et en déduire A. Le problème de l'inversion des deux points d'intersection des deux cercles reste encore présent.

 

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